Om undervisningsopplegget
Dette er et undervisningsopplegg i matematikk som er knyttet til verdensarven Struves meridianbue. Det er utviklet som et samarbeid mellom Alta museum og Nordnorsk vitensenter, og skal vise noe av matematikken bak det å finne diameteren til og formen på joda ved, å måle et stykke langs en meridian. Dette er en del av formidlingen rundt verdensarven Struves meridianbue.
Opplegget er bygget opp med denne nettsiden som har informasjon til lærer, med linker til aktiviteter som gjennomføres med elever. Det viser hvordan det er mulig å finne jordas størrelse og form ved å måle opp et stykke langs en meridian. Veien dit går via sirkler, kuler og sirkelbuer.
Innhold
Sirkler
Kuler
Sirkelbuer
Størrelsen til jorda
Aktivitetene har en del utregninger. Her er en Excelfil med tabeller og formler som gjør utregningene
Samlefiler
Pdf-fil med tabeller til aktiviteten
Pdf-fil med brøksirkler og sirkelsektorer, A4 format
Pdf-fil med brøksirkler og sirkelsektorer, A3 format
Sirkler
Viktige begreper
- Sirkel
- Sentrum
- Periferi
- Omkrets
- Diameter
- Radius
Mennesker har visst at jorda er rund i mer enn 2000 år. I Hellas, og sikkert også i Egypt, hadde de sett at når vi reiser nordover er det stjerner som forsvinner under horisonten i sør, samtidig som Polarstjerna kommer høyere opp på himmelen i nord. Når vi kommer lengre nord er også flere stjerner oppe hele tiden, vi sier de er sirkumpolare. Dette er bare mulig dersom jorda er rund.
Opp gjennom tidene har mange gjort målinger for å finne ut hvor stor jorda er. Før vi ser på hvordan de gjorde det, må vi utforske sikler, kuler og sirkelbuer.
Ordet sirkel kan brukes både om hele sirkelflata og om omkretsen rundt flata, noe som kan være litt utfordrende. Når vi tegner en sirkel, tegner vi en ring. Mens arealet til en sirkel er arealet til sirkelflata. Og, når vi snakker om omkretsen til en sirkel tenker vi oftere på lengden på en runde langs periferien enn selve periferien.
Ved å måle omkrets og diameter for ulike sirkler, og så regne ut forholdet, vil elevene kunne oppdage sammenhengen mellom disse.
Gjør aktiviteten Utforske sirkler
Når vi måler omkrets og diameter til sirkler og regner ut forholdet omkrets/diameter, vil vi få et tall rundt 3,14. Hvor nært vi kommer, kommer an på hvor nøye vi får målt. Forholdet mellom omkrets og diameter til sirkler, har fått navnet pi etter den greske bokstaven π. Pi kan beregnes uten mål fra sirkler og det har vist seg at pi har uendelig mange desimaler. De ni første er 3,141 592 654. Når vi måler og gjør beregninger er som regel 3,14 godt nok.
Viktige elementer i oppsummeringa etter aktiviteten:
- Forholdet mellom omkrets og diameter til en sirkel kalles π (pi)
- Når vi måler noe, vil vi få litt ulike resultater selv om vi måler den samme tingen
- Når vi regner videre med noe vi har målt, vil svarene også bli litt ulike
Kuler
Viktige begreper
- Kule
- Sentrum
- Overflate
- Omkrets
- Diameter
- Radius
- Storsirkel
En kule er en tredimensjonal figur hvor alle punktene på overflata av kula er i samme avstand fra ett punkt. Dette punktet er sentrum av kula. Avstanden fra sentrum av kula til overflata, er kulas radius. Diameteren til en kule er lengden på et linjestykke som går fra overflata, gjennom kulas sentrum og til overflata på motsatt side. Diameteren er dobbelt så lang som radius. Overflata til en kule kalles også en sfære.
Skjærer vi en bit av en kule, vil snittflata være en sirkel. Matematisk sier vi at et plan som skjærer en kule, danner en sirkel. En storsirkel er den største sirkel vi får når vi deler en kule i to. Sentrum av storsirkelen ligger i sentrum av kula. Omkretsen av en kule er lik omkretsen til kulas storsirkler. Det kan lages uendelig mange storsirkler på en kule.
Gjør aktiviteten Utforske kuler
Det er ikke sikkert du kan dele alle kulene dine i to og derfor ikke får målt diameteren på dem. Siden vi nå vet at forholdet mellom omkrets og diameter er π, kan du regne ut diameteren med å dele omkretsen på 3,14.
Viktige elementer i oppsummeringa etter aktiviteten:
- Forholdet mellom omkrets og diameter til en kule er også π (pi)
- Hvis vi ikke får målt diameteren til kula direkte, kan vi måle omkretsen og regne ut diameteren
Sirkelbuer og brøksirkler
Viktige begreper
- Sirkelsektor
- Radius
- Sentervinkel
- Sirkelbue
Jorda er for stor til å måle ved å legge et målebånd rundt, og vi kan ikke dele den i to for å måle diameteren. Men, vi kan måle en del av omkretsen og regne ut hele omkretsen og diameteren. Først trenger vi noen begreper til.
Radius er et linjestykke som går fra sentrum til et punkt på periferien til en sirkel eller på overflata til ei kule. Lengden til radius er halvparten av diameteren.
Sirkelsektor er en del av en sirkel som vi får ved å dele sirkelen opp langs to radier (eller radiuser). Delen av sirkelperiferien som er del av sirkelsektoren kalles en sirkelbue. Vinkelen mellom radiene i en sirkelsektor kan vi kalle vinkelen eller sentervinkelen til sirkelsektoren.
Før vi går videre skal vi utforske sirkelsektorer og sirkler.
Gjør aktiviteten utforske sirkler og sirkelsektorer
Hvis vi har en sirkel delt inn i like store sirkelsektorer og vi vet hvor mange sirkelsektorer det er, kan vi måle sirkelbuen og regne ut omkrets, radius og diameter til hele sirkelen.
Vi har sett at omkretsen av sirkelen er lik summen av lengden av sirkelbuene til alle sirkelsektorene og at summen av alle sentervinklene er 360° for brøksirkler. Stemmer det når sirklene er delt inn i sirkelsektorer med ulike lengder og vinkler?
Viktige elementer i oppsummeringa etter aktivitetene:
- Vi trenger bare å måle en del av en sirkel for å finne diameteren, hvis vi vet sentervinkelen til sirkelbuen denne delen utgjør
- Hvis sirkelen er en storsirkel på en kule, har vi også funnet diameteren til kula
- Når vi måler noe og bruker målene til å regne ut noe annet, så får vi ikke helt nøyaktige svar.
- For sirkler og sirkelbuer, blir resultatet bedre om vi måler på en stor sirkel og en lang bue. Hvilket måleredskap som brukes, spiller også inn.
Størrelsen til jorda fra Struves meridianbue
Å måle lengden av en meridianbue er ganske komplisert og involverer trekanter, vinkelmålinger og avstandsmålinger over strekninger hvor bare det å komme seg fram og sette opp målingsstasjoner er en utfordring. Matematikken som hører til her læres på videregående skole, men vi kan bruke målinger som er gjort, til å finne ut størrelsen til jorda på samme måte som når vi regner ut omkretsen til en sirkel fra målene fra en sirkelbue.
Målingene Struve og hans samarbeidspartnere gjorde, gikk fra Fuglenes i Hammerfest, Norge på 70,67° nord til Staro-Nekrassowka i Ismail, Ukraina på 45,33° nord. Forskjellen i breddegrad, er sentervinkelen til vinkelsektoren de målte opp.
Når vi vet at forskjellen er 25,34° og lengden av sirkelbuen ble målt til 2821,8 km, kan vi regne ut omkretsen til jorda.
Ut fra målingene i Struves prosjekt, ble jordas omkrets beregnet til 40 088 km og diameteren 12 760. Dette er ganske nært den gjennomsnittlige verdien på jordas diameter som vi bruker i dag (12 742 km), og var det beste målet på jordas størrelse på 1800 tallet.