Struves meridianbue og jordas størrelse og form
Hvor stor er jorda og hvilken form har den? Hvor stor er sola? Hvor langt borte er månen? Dette er spørsmål mange har stilt gjennom tidene. Størrelsene til månen og sola og avstandene til planetene i solsystemet, kan beregnes ut fra observasjoner når vi vet størrelsen og formen på joda. I dette undervisningopplegget skal vi se på hvordan størrelsen og formen på jorda ble målt før vi tok i bruk satellitter.

Om undervisningsopplegget

Meridianstøtta i Hammerfest
Dette er et undervisningsopplegg i matematikk som er knyttet til verdensarven Struves meridianbue. Det er utviklet som et samarbeid mellom Alta museum og Nordnorsk vitensenter, og skal vise noe av matematikken bak det å finne diameteren til og formen på joda ved, å måle et stykke langs en meridian. Dette er en del av formidlingen rundt verdensarven Struves meridianbue.

Opplegget er bygget opp med denne nettsiden som har informasjon til lærer, med linker til aktiviteter som gjennomføres med elever. Det viser hvordan det er mulig å finne jordas størrelse og form ved å måle opp et stykke langs en meridian. Veien dit går via sirkler, kuler og sirkelbuer.

Innhold

UNESCO, verdensarv og Struves meridianbue
Sirkler
Kuler
Sirkelbuer
Størrelsen til jorda

Kommer:
Formen på jorda
Hvorfor er det viktig å vite hvor stor jorda er?

Samlefiler

Pdf-fil med tabeller til aktiviteten
Pdf-fil med brøksirkler og sirkelsektorer, A4 format
Pdf-fil med brøksirkler og sirkelsektorer, A3 format

UNESCO, verdensarv og Struves meridianbue

Verdensarv er en fortelling om hvem vi er og hvor vi kommer fra. Om de erfaringene vi deler, slik som historie og miljø og hva vi gjør for å skape en bedre framtid. Struves meridianbue er en av over 1000 steder som står på verdensarvlisten. Meridianbuen er en kjede av trekanter langs en meridian fra Svartehavet til Hammerfest. Målet med å måle opp meridianbuen på 1800-tallet, var å få mer nøyaktig kunnskap om jordas størrelse og form.

De forente nasjoner (FN) er en internasjonal organisasjon som ble etablert 24. oktober 1945, for å stoppe krig og danne en plattform for dialog. UNESCO er FNs organisasjon for utdanning, vitenskap, kultur og kommunikasjon med formål å bidra til fred og sikkerhet ved å fremme internasjonalt samarbeid gjennom utdanning, vitenskap og kultur for å fremme universell respekt for rettferdighet, rettssikkerhet og menneskerettigheter sammen med frihet.

Rundt om i verden er det naturområder og kulturminner som er av en så stor betydning at dersom disse forsvinner, vil menneskeheten ha mistet noe som ikke lar seg erstatte. Ideen om å ta vare på det umistelige skapte ideen om verdensarv. I 1972 signerte de første nasjonene en konvensjon for verdens kultur- og naturarv. Alle stedene på verdensarvlisten har enestående universell verdi. For å komme på denne listen må kultur- og naturområdene passe inn i ett eller flere utarbeidete kriterier.

Trianguleringspunktet på Lille Raipas Den 15. juli 2005 erklærte UNESCO at 34 av de 265 opprinnelige målepunktene til Struves meridianbue er verdensarv. Alle de 34 punktene har en eller annen markering; et hull i fjellet, en jernbolt, ei steinrøys eller en statue. Struves meridianbue er det første teknisk-naturvitenskapelige kulturobjekt som ble med på verdensarvlista.

Den russiske astronom og geodet Friedrich Georg Wilhelm Struve (1793 - 1864) ledet det omfattende prosjektet med å måle opp meridianbuen. Resultatene var et viktig steg i utviklinga av kunnskapen om jorda, noe som gjør denne meridianbuen universelt viktig for hele menneskeheten.

Oppmålingene forgikk fra 1816 til 1855 og fikk vitenskapsmenn fra forskjellige nasjoner til å jobbe sammen. Instrumentmakere utviklet nøyaktige måleinstrumenter utfra vitenskapens behov, mens monarkene i Stor- Russland og Sverige/Norge var enige om felles mål i vitenskapens tjeneste og finansierte prosjektet. Dette var også første gang Norge deltok i et internasjonalt vitenskapsprosjekt.

Les mer om Struves meridianbue på
Struves meridianbue
Norges verdensarv, Struves meridianbue

Sirkler

Begreper knyttet til sirkelen
Viktige begreper

  • Sirkel
  • Sentrum
  • Periferi
  • Omkrets
  • Diameter
  • Radius

Mennesker har visst at jorda er rund i mer enn 2000 år. I Hellas, og sikkert også i Egypt, hadde de sett at når vi reiser nordover er det stjerner som forsvinner under horisonten i sør, samtidig som Polarstjerna kommer høyere opp på himmelen i nord. Når vi kommer lengre nord er også flere stjerner oppe hele tiden, vi sier de er sirkumpolare. Dette er bare mulig dersom jorda er rund.

Opp gjennom tidene har mange gjort målinger for å finne ut hvor stor jorda er. Før vi ser på hvordan de gjorde det, må vi utforske sikler, kuler og sirkelbuer.

Ordet sirkel kan brukes både om hele sirkelflata og om omkretsen rundt flata, noe som kan være litt utfordrende. Når vi tegner en sirkel, tegner vi en ring. Mens arealet til en sirkel er arealet til sirkelflata. Og, når vi snakker om omkretsen til en sirkel tenker vi oftere på lengden på en runde langs periferien enn selve periferien.

Ved å måle omkrets og diameter for ulike sirkler, og så regne ut forholdet, vil elevene kunne oppdage sammenhengen mellom disse.

Gjør aktiviteten Utforske sirkler

Når vi måler omkrets og diameter til sirkler og regner ut forholdet omkrets/diameter, vil vi få et tall rundt 3,14. Hvor nært vi kommer, kommer an på hvor nøye vi får målt. Forholdet mellom omkrets og diameter til sirkler, har fått navnet pi etter den greske bokstaven π. Pi kan beregnes uten mål fra sirkler og det har vist seg at pi har uendelig mange desimaler. De ni første er 3,141 592 654. Når vi måler og gjør beregninger er som regel 3,14 godt nok.

Viktige elementer i oppsummeringa etter aktiviteten:

  • Forholdet mellom omkrets og diameter til en sirkel kalles π (pi)
  • Når vi måler noe, vil vi få litt ulike resultater selv om vi måler den samme tingen
  • Når vi regner videre med noe vi har målt, vil svarene også bli litt ulike

Kuler

Noen begreper knyttet til kuler
Viktige begreper

  • Kule
  • Sentrum
  • Overflate
  • Omkrets
  • Diameter
  • Radius
  • Storsirkel

En kule er en tredimensjonal figur hvor alle punktene på overflata av kula er i samme avstand fra ett punkt. Dette punktet er sentrum av kula. Avstanden fra sentrum av kula til overflata, er kulas radius. Diameteren til en kule er lengden på et linjestykke som går fra overflata, gjennom kulas sentrum og til overflata på motsatt side. Diameteren er dobbelt så lang som radius. Overflata til en kule kalles også en sfære.

Skjærer vi en bit av en kule, vil snittflata være en sirkel. Matematisk sier vi at et plan som skjærer en kule, danner en sirkel. En storsirkel er den største sirkel vi får når vi deler en kule i to. Sentrum av storsirkelen ligger i sentrum av kula. Omkretsen av en kule er lik omkretsen til kulas storsirkler. Det kan lages uendelig mange storsirkler på en kule.

Gjør aktiviteten Utforske kuler
Det er ikke sikkert du kan dele alle kulene dine i to og derfor ikke får målt diameteren på dem. Siden vi nå vet at forholdet mellom omkrets og diameter er π, kan du regne ut diameteren med å dele omkretsen på 3,14.

Viktige elementer i oppsummeringa etter aktiviteten:

  • Forholdet mellom omkrets og diameter til en kule er også π (pi)
  • Hvis vi ikke får målt diameteren til kula direkte, kan vi måle omkretsen og regne ut diameteren

Sirkelbuer og brøksirkler

Begreper knyttet til sirkelsektorer
Viktige begreper

  • Sirkelsektor
  • Radius
  • Sentervinkel
  • Sirkelbue

Jorda er for stor til å måle ved å legge et målebånd rundt, og vi kan ikke dele den i to for å måle diameteren. Men, vi kan måle en del av omkretsen og regne ut hele omkretsen og diameteren. Først trenger vi noen begreper til.

Radius er et linjestykke som går fra sentrum til et punkt på periferien til en sirkel eller på overflata til ei kule. Lengden til radius er halvparten av diameteren.

Sirkelsektor er en del av en sirkel som vi får ved å dele sirkelen opp langs to radier (eller radiuser). Delen av sirkelperiferien som er del av sirkelsektoren kalles en sirkelbue. Vinkelen mellom radiene i en sirkelsektor kan vi kalle vinkelen eller sentervinkelen til sirkelsektoren.

Før vi går videre skal vi utforske sirkelsektorer og sirkler.

Gjør aktiviteten utforske sirkler og sirkelsektorer

Hvis vi har en sirkel delt inn i like store sirkelsektorer og vi vet hvor mange sirkelsektorer det er, kan vi måle sirkelbuen og regne ut omkrets, radius og diameter til hele sirkelen.

Vi har sett at omkretsen av sirkelen er lik summen av lengden av sirkelbuene til alle sirkelsektorene og at summen av alle sentervinklene er 360° for brøksirkler. Stemmer det når sirklene er delt inn i sirkelsektorer med ulike lengder og vinkler?

Gjør aktiviteten Sirkelsektor og omkrets

Viktige elementer i oppsummeringa etter aktivitetene:

  • Vi trenger bare å måle en del av en sirkel for å finne diameteren, hvis vi vet sentervinkelen til sirkelbuen denne delen utgjør
  • Hvis sirkelen er en storsirkel på en kule, har vi også funnet diameteren til kula
  • Når vi måler noe og bruker målene til å regne ut noe annet, så får vi ikke helt nøyaktige svar.
  • For sirkler og sirkelbuer, blir resultatet bedre om vi måler på en stor sirkel og en lang bue. Hvilket måleredskap som brukes, spiller også inn.

Størrelsen til jorda fra Struves meridianbue

Struves meridianbue, illustrasjon fra Wikipedia/historicair

Å måle lengden av en meridianbue er ganske komplisert og involverer trekanter, vinkelmålinger og avstandsmålinger over strekninger hvor bare det å komme seg fram og sette opp målingsstasjoner er en utfordring. Matematikken som hører til her læres på videregående skole, men vi kan bruke målinger som er gjort, til å finne ut størrelsen til jorda på samme måte som når vi regner ut omkretsen til en sirkel fra målene fra en sirkelbue.

Målingene Struve og hans samarbeidspartnere gjorde, gikk fra Fuglenes i Hammerfest, Norge på 70,67° nord til Staro-Nekrassowka i Ismail, Ukraina på 45,33° nord. Forskjellen i breddegrad, er sentervinkelen til vinkelsektoren de målte opp.

Når vi vet at forskjellen er 25,34° og lengden av sirkelbuen ble målt til 2821,8 km, kan vi regne ut omkretsen til jorda.

Ut fra målingene i Struves prosjekt, ble jordas omkrets beregnet til 40 088 km og diameteren 12 760. Dette er ganske nært den gjennomsnittlige verdien på jordas diameter som vi bruker i dag (12 742 km), og var det beste målet på jordas størrelse på 1800 tallet.